Sigue abierto: el rango de la multiplicación de matrices 3 × 3

Multiplicar dos matrices 2 × 2 a la manera escolar requiere 8 multiplicaciones. En 1969 Volker Strassen lo hizo con 7, y dos años después Winograd demostró que 7 es el mínimo posible. Aplicada a bloques, una y otra vez, esa multiplicación ahorrada reduce un producto n × n de n³ a n^2.807, porque log₂ 7 = 2.807.

Ese 7 es un rango CP. La regla para multiplicar matrices 2 × 2 es un tensor 4 × 4 × 4 con un 1 por cada uno de los 8 productos escolares. Cada término de rango uno de una descomposición CP cuesta una multiplicación, así que una descomposición de rango R es un algoritmo con R multiplicaciones. El algoritmo de Strassen son siete términos de rango uno que suman exactamente el tensor.

Para matrices 3 × 3 el tensor es 9 × 9 × 9, con 27 unos, y nadie conoce su rango. Es al menos 19 (Bläser, 2003) y como mucho 23 (Laderman, 1976). Un rango 21 superaría a Strassen (n^2.771); un rango 22 no (n^2.814). El estudio a fondo 20 convierte la búsqueda en un juego.