Combinaciones lineales, espacio generado y espacio columna

Una combinación lineal de los vectores v⁽¹⁾, …, v⁽ⁿ⁾ multiplica cada uno por un coeficiente escalar y suma los resultados: Σᵢ cᵢv⁽ⁱ⁾. El espacio generado (span) de un conjunto de vectores es todo punto al que se puede llegar así.

El producto Ax es exactamente una combinación lineal de las columnas de A, con las entradas de x como coeficientes: Ax = Σᵢ xᵢ A:,ᵢ. Por eso Ax = b tiene solución precisamente cuando b está en el espacio generado por las columnas de A. Ese espacio se llama espacio columna, o imagen (en inglés, range), de A.

Para que Ax = b tenga solución para todo b ∈ ℝᵐ, el espacio columna debe ser todo ℝᵐ, así que A necesita al menos m columnas (n ≥ m). Una matriz 3 × 2, por ejemplo, solo alcanza un plano 2-D dentro de ℝ³.