Independencia lineal y matrices singulares

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de sus vectores es combinación lineal de los demás. Un vector redundante (linealmente dependiente) no añade nada al espacio generado: una matriz 2 × 2 con dos columnas idénticas solo alcanza una recta.

Para que A⁻¹ exista, Ax = b debe tener exactamente una solución para cada b. Eso exige que A sea cuadrada (m = n) y que todas sus columnas sean linealmente independientes. Una matriz cuadrada con columnas linealmente dependientes se llama singular, y no tiene inversa.

Un sistema puede no tener solución, tener exactamente una o tener infinitas, pero nunca una cantidad intermedia como dos: si x e y son soluciones, también lo es αx + (1 − α)y para todo α real.