Descomposición de una matriz simétrica real

Toda matriz simétrica real se puede descomponer usando solo vectores y valores propios reales: A = QΛQᵀ. Q es una matriz ortogonal cuyas columnas son vectores propios de A, y Λ es una matriz diagonal con los valores propios correspondientes. Geométricamente, A escala el espacio por λᵢ en la dirección del i-ésimo vector propio.

Por convención, los valores propios de Λ se ordenan de mayor a menor; así la descomposición es única solo si todos los valores propios son distintos.

También responde una pregunta de optimización. Sobre los vectores unitarios (‖x‖₂ = 1), f(x) = xᵀAx es máxima en el vector propio con el mayor valor propio, donde vale ese valor propio, y mínima en el vector propio con el menor.