La pseudoinversa de Moore-Penrose

Las matrices que no son cuadradas no tienen inversa. La pseudoinversa de Moore-Penrose A⁺ permite aun así “resolver” Ax = y como x = A⁺y. Los algoritmos prácticos la calculan a partir de la SVD, A⁺ = VD⁺Uᵀ, donde D⁺ toma el recíproco de las entradas no nulas de D y luego transpone el resultado.

Lo que da x = A⁺y depende de la forma de A:

• Más ancha que alta (más columnas que filas): puede haber muchas soluciones, y A⁺y es la de menor norma euclidiana ‖x‖₂.
• Más alta que ancha (más filas que columnas): puede no haber solución exacta, y A⁺y es el x que deja Ax lo más cerca posible de y, minimizando ‖Ax − y‖₂. Es la respuesta de mínimos cuadrados.