Vectores ortogonales y matrices ortogonales

Un vector unitario tiene norma 1: ‖x‖₂ = 1. Los vectores x e y son ortogonales si xᵀy = 0; si ambos son no nulos, forman un ángulo de 90°. En ℝⁿ, como mucho n vectores no nulos pueden ser ortogonales entre sí. Los vectores ortogonales y de longitud unitaria son ortonormales.

Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuyas filas son ortonormales entre sí y cuyas columnas son ortonormales entre sí: AᵀA = AAᵀ = I. Así, su inversa es simplemente su transpuesta, A⁻¹ = Aᵀ, que es muy barata de calcular.

Ojo con el nombre: las filas de una matriz “ortogonal” no son solo ortogonales sino ortonormales. No hay un término especial para una matriz cuyas filas o columnas son ortogonales pero no ortonormales.